The Video
Video 1 : Factoring Polynomials
One way to find factors of polynomials is to formed the algebraic long division. For example lets see x minus 3 is a factor of x cube minus seven x minus six? When dividing x minus 3 into x cube minus seven x minus six. First step the problem make a long division problem. There is you dividing x – 3 into x cube plus zero x square minus seven x minus six. Zero because there is no second degree term. Now you must ask yourself what times x give you x cube? Of, course x square, so you multiply x minus 3. By x square, which give you x cube minus 3 x square to get 3 x square. Bring it down next term negative seven x. Dividing x minus 3 into 3 x square minus seven x. Just looking at the first time 3 x square dividing x is 3x. Multiply x minus 3 by 3x. We can get 3 x square minus nine x. Subtracting you have 2x minus 6. Dividing 2 x minus 6 by x-3 which equals 2 and without a remainder. So the solution for a long division problem is x square plus 3 x plus 2. Since x minus 3 divide in x cube minus seven x minus 6. We now know x cube minus 7 x minus 6 equals ( x minus 3) times ( x square plus 3 x plus 2 ). The quadratic expression x square plus 3 plus 2 can be factored into ( x plus 1) times ( x plus 2). So, x cube minus 7 x minus 6 equals ( x minus 3 ) times ( x plus 1) times ( x plus 2 ). Substitution x cube minus 7x minus 6 to zero we get 0=(x-3)(x+1)(x+2) Thus either x-3=0 or x+1=0 or x +2=0 Solving of x we get x=3, x=-1, x=-2. The roots of x cube minus 7 x minus 6 are 3, -1, -2.
Conclusion:
*) 3 roots for this 3rd degree equation
*) 2nd degree equation always have at most 2 roots
*) 4th degree equation would have 4 or fewer roots, and so on.
*) The degree of polynomials equation always limits the number of roots.
Long division process for 3rd order Polynomial:
1. Find a partial quotient of x square, by dividing x into x cube to get x square
2. Multiply x square by the divisor and subtract the product from the dividend.
3. Repeat the process until you either “ clear it out “ or reach a remainder.
Video 2 : Solve The Problems
The next problem is question 13. The figure shows of graph of y equals g of x. If the function h is defined by h(x) = g(2x)+2, what is the value of h(1)? And we are looking for h of 1.
The information of the graph h(x)=g(2x)+2 now we are looking for h(1). We substitute h(1) into this equation. H(1)=g(2)+2 now we get g(2), see when x equals 2, y equals 1. So g(2) is 1. H(1)=g(2)+2, h(1)=1+2, so h(1)=3.
Next is the function with no function problem. This question 13 page 534. Let the function f be defined by F(x)=x+1, if 2f(p)=20, what is the value of f(3p)? We are looking f(3p) what is f when x = 3p?
First information is F(x)=x+1, 2f(p)=20 The figure of 3p start with this equation down here:
2f(p)=20, the, if we are divide by 2 so : f(p)=10. Then f(p) is just what is function f(x) of f(p) f(p)=p+1=10, then p=9. Is this right answer? No, is not. We looking for x=3p, x=27. We have an equation f(x)=x+1, f(27)=27+8=28. The last answer is 28.
Question 17.
In the x y – coordinate plane, the graph of x equals y square minus 4 intersect line l at ( 0,p ) and ( 5,t ). What is the greatest possible value of the slope of l? we’ll be looking for greatest m. The graph intersect in x = 4 line l intersect at ( 0,p ) and ( 5,t ). X is zero, y is p and when x = 5, y=t what is the possible slope for line l. What we are doing now for get the slope? m
equals (y-y1) over (x2-x1) The slope is going to be m=(t-p) over 5. Numerator is t-p we have x=y square minus 4. We can play again the point of intersect ( 0,p ) and ( 5,t ) to the equation x= x square minus 4.
Video 3 : Pre Calculus
Graph of a rational function which can have discontinuities because has polynomial in the denominator.
Is possible value x divide by 0
Example : f(x) equals (x plus 2) over (x minus 1) F(1)= The value become 1+2 over 1-1 equals 3 over zero. That is bad idea.
Graph f(1)=1 plus 2 over zero : Break in finction graph.
F(x) = ( x+ 2) over ( x-1) : insert 0
F(0)=0+2 over 0-1 equals -2. Insert 1 F(1)=1+2 over 1-1 equals 3 over 0 is impossible.
Rational functions don’t always work in this way! Take graph f(x) = 1 over ( x square plus 1 ). Not all rational functions will give zero in denominator because of the +1 ( never zero ).
Rational functions denominator can be zero.
Polynomial have smooth and unbroken curve and for rational function x : zero in the denominator. That impossible situation. A break can show up in two ways. A simply type break is missing point on the graph. Y = ( x square minus x minus 6 ) over ( x minus 3). The graph loose like this if x = 3 ( 3 square minus 3 minus 6 ) over (3 minus 3) equals 0 over 0. That is not possible, not feasible, and not allowed. So that is no way if x = 3. This is a typical example to the missing point syndrome. Y = ((3 square minus 3 minus 6 ) over (3 minus 3) equals 0 over 0. When you see result of 0 over 0 and also tell you direction by possible factor top and bottom of rational function and simplify. For example. Y = ( x square minus x minus 6 ) over ( x minus 3), Equals ( x minus 3 ) times ( x plus 2) over ( x minus 3) so, y = x+2.
video4.
Now we talking about the inverse function.
we can write this function becomes relation of f(x,y)=o, then function y=f(x). is a straight line with y intersect (-1) and x intersect (1/2). Look at the line y=x. That line intersect the graph of y=2x-1. So, we get
x=2x-1
1+x=2x
then 1=x
So, the intersection of the line y=x and y=2x-1 with x=1 is (1,1).
Minggu, 14 Desember 2008
English To Indonesia
SISTEM ANGKA
1. Perhitungan aritmatika dengan jari
System ini diperoleh dari menghitung jari dengan angka yang ditulis seluruhnya dengan kata – kata. Perhitunga dengan jari ini digunakan oleh komunitas bisnis. Ahli matematika seperti Abul’s – Wafa ( Lahir 940) menulis beberapa acuan mengenai penggunaan system ini. Abul’s – Wafa sebagai ahli dalam penggunaan angka – angka Indian tetapi :
…. Tidak ada aplikasi fina di lingkaran bisnis dan diantara populasi kalifah timur untuk waktu yang lama.
Oleh karena itu Ia menulis teksnya menggunakan perhitungan aritmatika dengan jari sejak system ini digunakan oleh komunitas bisnis.
2. System sexagesimal
System yang kedua dari tiga system yang ada adalah sexagesimal system, dengan angka yang ditandai oleh huruf alphabet arab. Sistem ini berasal dari orang – orang babilonia dan sering digunakan oleh ahli matematika arab dalam pekerjaan astronomi.
3. Sistem angka Indian
System yang ketiga perhitungan angka Indian dan pecahan dengan system nilai decimal. Angka – angka yang digunakan diambel dari India, tetapi tidak ada symbol standard yang ditetapkan. Bagian lain pada dunia Arab menggunakan sedikit perubahan bentuk pada angka – angkanya. Awalnya metode Indian digunakan oleh orang Arab dengan sebuah papan debu. Papan debu dibutuhkan karena metode ini membutuhkan perpindahan angka – angka dalam perhitungan dan menghapus beberapa proses perhitungan. Penggunaan papan debu akan memilki fungsi yang sama juga dengan menggunakan papan tulis, kapur, dan penghapus papan tulis. BAgaimanapun, Al – Uqlisidi ( lahir 920 ) menunjukkan bagaimana mengenbangkan metode ini dengan menggunakan pulpen dan kertas. Al – Baghdadi juga mengkontribusikan untuk pengembangan dalam system decimal.
Sistem perhitungan yang ketiga ini paling banyak digunakan dalam metode angka eloeh orang – orang Arab. Sistem ini juga digunakan dalam penarikan akar oleh ahli matematika seperti Abul’l Wafa dan Omar khayam sebagai factor utama dalam pengembangan analisis dasar angka pada system decimal. Al – Kashi ( lahir 1380 ) mengkontribusi untuk perkembangan pada pecahan decimal tidak hanya untuk memperkirakan bilangan – bilangan aljabar, tetapi juga untuk bilangan real seperti π. Kontribusinya untk pecahan decimal adalah yang utama selama beberapa tahun , beliau dipertimbangkan sebagai penemu dari pecahan – pecahan decimal. Walaupun bukan yang pertama juga, al – Kashi memberikan algoritma untuk menghitung akar – n yang merupakan kasus khusus pada metode di beberapa abad terakhir oleh Ruffini dan Horner.
Walaupun ahli matematika Arab lebih terkenal dengan pekerjaan mereka dalam alajabar, teori bilangan, dan system angka, mereka juga berperan dalam sumbangan goemetri, trigonometri dan matematika astronomi. Ibrahin Ibn Sinan ( Lahir 908), yang mengenalkan metode integral yang lebih umum daripada Archimedes, dan Al – Quhi ( LAhir 940 ) yang menjadi figure pemimpin dalam sebuah perkembangan ilmu dan kelanjutan pada geometri Yunani tingkat tinggi di dunia islam. Para ahli matematika, dan teristimewa al - Haytam, mempelajari optikm dan penyelidikan alat – alat lensa opyik dibuat dari bagian – bagian yang berbentuk kerucut. Omar Kahayam menggabungkan penggunaan trigonometri dari teori pendekatan untuk meyediakan metode dalam persamaan aljabar dengan pengertian geometri.
Astronomi, perbedaan waktu, dan geografi menyediakan dorongan lain untuk penelitian geometrid an trigonometri. Sebagai contoh Ibrahim Ibn Sinan dan kakeknya Thabitt ibn Qurra keduanya mempelajari kurva permintaan dalam konstruksi jam matahari. Abul – Wafa dan Abu Nasr Mansur keduanya mengaplikasikan geometri lingkaran untuk astronomi dan juga rumus sinus dan tangent. Al Biruni ( Lahir 973 ) menggunakan rumus sinus dalam astronomi dan perhitungan garis bujur dan lintang pada beberapa kota. Lagi – lagi keduanya astronomi dan geografi mendorong al – Birunis memperluas studinya pada proyek setengah lingkaran dalam bidang.
Thabit ibn Qurra mengerjakan keduanya teori dan penelitian dalam astronomi al – Batahani ( lahir 850 ). Membuat kepastian penelitian yang mengijinkannya untuk mengembangkan pada prolemy’s data untuk matahari dan bulan. Nasir al – Din dan al – Tusi ( Lahir 1201), seperti kebanyakan ahli matematika Arab, berdasarkan teori astronominya pada kerja prolemy’s tetapi al – Tusi membuat perkembangan yang lebih berarti pada model prolemy’s dalam system planet yang lebih dikembangkan pada model heliosentris dalam waktu Copernicus.
Kebanyakan ahli matematika Arab menghasilkan table fungsi trigonometri sebagai bagian pembelajarannya pada astronomi termasuk di sini Ulugh Begh ( Lahir 1393) dan al – Kashi. Konstruksi instrument astronomi seperti astrolabe juga dikususkan pada Arab. Al – Mahani menggunakan astrolabe ketika Ahmed ( Lahir 835) , Al Kahzin ( Lahir 900) , Ibrahum Ibn Sinan , Al- Quhi, Abu Nasr Mansur ( Lahir 965 ), Al – Biruni, dan lainnya, semuanya menulis mengenai ketertarikan pada astrolabe. Sharaf al – Din , al – Tusi menemukan linear astrolabe.
Sumber :
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Arabic_matematics.html
1. Perhitungan aritmatika dengan jari
System ini diperoleh dari menghitung jari dengan angka yang ditulis seluruhnya dengan kata – kata. Perhitunga dengan jari ini digunakan oleh komunitas bisnis. Ahli matematika seperti Abul’s – Wafa ( Lahir 940) menulis beberapa acuan mengenai penggunaan system ini. Abul’s – Wafa sebagai ahli dalam penggunaan angka – angka Indian tetapi :
…. Tidak ada aplikasi fina di lingkaran bisnis dan diantara populasi kalifah timur untuk waktu yang lama.
Oleh karena itu Ia menulis teksnya menggunakan perhitungan aritmatika dengan jari sejak system ini digunakan oleh komunitas bisnis.
2. System sexagesimal
System yang kedua dari tiga system yang ada adalah sexagesimal system, dengan angka yang ditandai oleh huruf alphabet arab. Sistem ini berasal dari orang – orang babilonia dan sering digunakan oleh ahli matematika arab dalam pekerjaan astronomi.
3. Sistem angka Indian
System yang ketiga perhitungan angka Indian dan pecahan dengan system nilai decimal. Angka – angka yang digunakan diambel dari India, tetapi tidak ada symbol standard yang ditetapkan. Bagian lain pada dunia Arab menggunakan sedikit perubahan bentuk pada angka – angkanya. Awalnya metode Indian digunakan oleh orang Arab dengan sebuah papan debu. Papan debu dibutuhkan karena metode ini membutuhkan perpindahan angka – angka dalam perhitungan dan menghapus beberapa proses perhitungan. Penggunaan papan debu akan memilki fungsi yang sama juga dengan menggunakan papan tulis, kapur, dan penghapus papan tulis. BAgaimanapun, Al – Uqlisidi ( lahir 920 ) menunjukkan bagaimana mengenbangkan metode ini dengan menggunakan pulpen dan kertas. Al – Baghdadi juga mengkontribusikan untuk pengembangan dalam system decimal.
Sistem perhitungan yang ketiga ini paling banyak digunakan dalam metode angka eloeh orang – orang Arab. Sistem ini juga digunakan dalam penarikan akar oleh ahli matematika seperti Abul’l Wafa dan Omar khayam sebagai factor utama dalam pengembangan analisis dasar angka pada system decimal. Al – Kashi ( lahir 1380 ) mengkontribusi untuk perkembangan pada pecahan decimal tidak hanya untuk memperkirakan bilangan – bilangan aljabar, tetapi juga untuk bilangan real seperti π. Kontribusinya untk pecahan decimal adalah yang utama selama beberapa tahun , beliau dipertimbangkan sebagai penemu dari pecahan – pecahan decimal. Walaupun bukan yang pertama juga, al – Kashi memberikan algoritma untuk menghitung akar – n yang merupakan kasus khusus pada metode di beberapa abad terakhir oleh Ruffini dan Horner.
Walaupun ahli matematika Arab lebih terkenal dengan pekerjaan mereka dalam alajabar, teori bilangan, dan system angka, mereka juga berperan dalam sumbangan goemetri, trigonometri dan matematika astronomi. Ibrahin Ibn Sinan ( Lahir 908), yang mengenalkan metode integral yang lebih umum daripada Archimedes, dan Al – Quhi ( LAhir 940 ) yang menjadi figure pemimpin dalam sebuah perkembangan ilmu dan kelanjutan pada geometri Yunani tingkat tinggi di dunia islam. Para ahli matematika, dan teristimewa al - Haytam, mempelajari optikm dan penyelidikan alat – alat lensa opyik dibuat dari bagian – bagian yang berbentuk kerucut. Omar Kahayam menggabungkan penggunaan trigonometri dari teori pendekatan untuk meyediakan metode dalam persamaan aljabar dengan pengertian geometri.
Astronomi, perbedaan waktu, dan geografi menyediakan dorongan lain untuk penelitian geometrid an trigonometri. Sebagai contoh Ibrahim Ibn Sinan dan kakeknya Thabitt ibn Qurra keduanya mempelajari kurva permintaan dalam konstruksi jam matahari. Abul – Wafa dan Abu Nasr Mansur keduanya mengaplikasikan geometri lingkaran untuk astronomi dan juga rumus sinus dan tangent. Al Biruni ( Lahir 973 ) menggunakan rumus sinus dalam astronomi dan perhitungan garis bujur dan lintang pada beberapa kota. Lagi – lagi keduanya astronomi dan geografi mendorong al – Birunis memperluas studinya pada proyek setengah lingkaran dalam bidang.
Thabit ibn Qurra mengerjakan keduanya teori dan penelitian dalam astronomi al – Batahani ( lahir 850 ). Membuat kepastian penelitian yang mengijinkannya untuk mengembangkan pada prolemy’s data untuk matahari dan bulan. Nasir al – Din dan al – Tusi ( Lahir 1201), seperti kebanyakan ahli matematika Arab, berdasarkan teori astronominya pada kerja prolemy’s tetapi al – Tusi membuat perkembangan yang lebih berarti pada model prolemy’s dalam system planet yang lebih dikembangkan pada model heliosentris dalam waktu Copernicus.
Kebanyakan ahli matematika Arab menghasilkan table fungsi trigonometri sebagai bagian pembelajarannya pada astronomi termasuk di sini Ulugh Begh ( Lahir 1393) dan al – Kashi. Konstruksi instrument astronomi seperti astrolabe juga dikususkan pada Arab. Al – Mahani menggunakan astrolabe ketika Ahmed ( Lahir 835) , Al Kahzin ( Lahir 900) , Ibrahum Ibn Sinan , Al- Quhi, Abu Nasr Mansur ( Lahir 965 ), Al – Biruni, dan lainnya, semuanya menulis mengenai ketertarikan pada astrolabe. Sharaf al – Din , al – Tusi menemukan linear astrolabe.
Sumber :
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Arabic_matematics.html
Indonesia to English
Applying Trigonometry as a Basic Trilliteration for Global Positioning System ( GPS )
Long time ago, actually our great – grandparents have a unique ways in order to they not being lost. They build the easy looking monument, draw detail maps which need many energy, learned to read star in the sky. Then now with the development of technology, use of maps and compass replaced by other navigator tool named Global Positioning System ( GPS ). This system improve since 1970 by USA military department. In its grow, GPS used for other necessary. Actually that modern tool based from mathematics science named triliteration.
Global Positioning System is navigation system which exploiting satellite. GPS receiver get signal from some satellite around world. With the special formation, GPS can give position and time with very high height. GPS satellite around the earth twice a day. This satellite will transmission signal to the world, then other GPS will be differentiating time that transmit to calculate position.
GPS Principal, GPS must has at least 3 satellite to calculate 2 dimension position. With 4 satellites, GPS can calculate 3 dimension position. GPS position based by mathematics measurement named trilliteration which is need 3 basic point.
Determination point of GPS :
• Assuming you don’t know about your position, and you only know, you have 7 km from reference point “A”. Make circle with 7 cm of radian.
• Others, you know , you have 14 km from reference point “B”. draw, and you can see, that circle proportion on 2 points.
• Impossible you on 2 points at the same time, so you must draw one circle again, assumed you know, you have 3 km from reference point “C”. So you have 3 circle which are produced 1 point, this point your position.
Delivery data process by satellite
When GPS satellite sending signal to GPS receiver, that signal containing about position information satellite and time of that delivery signal. Because of there is a distance between satellite position and GPS receiver so there is difference time at the first time of signal transmitted with the time of accepted signal by the GPS component.
Speed of signal transmitted assumed like a velocity of light in a vacuum. With a difference time equal to T, so distance obtained as :
Distance ( S ) = time ( T ) x velocity of light ( V )
( S ) is the radian which used before.
Reason for using 4 satellites
GPS satellite sending position data ( X, Y, Z ) to receiver. Assumed there are 3 satellites that can accepted by our GPS, so there are 3 variables in 3 equations which accepted by GPS . That three equations will be produced a calculation that shows where is our location.
x1 + x2 + x3 = y1 + y2 + y3 =z1 + z2 + z3
Because every point ( X, Y, Z ) in satellite difference each other so in order to can produced the same calculation, we must add 3 variable that used by all of information, named ( a, b, c ) so the formula become :
ax1+ by1 + cz1 = ax2 +by2 +cy3 =ax3 + ay3 +cz3
Variable ( a, b, c) are information about our height. If the process delivery information to the receiver GPS in prefect condition, so with three information we can know about our position and how high our position.
There is one again variable that unknown by us that is “ Time ( T )”. That means we have 4 variable which unknown there are X, Y, Z, T. For calculate that variable, needed 4 different mathematics equation, because of that we need position information from satellite. So with 4 variable from 4 different equation, mathematically we can know about our position.
When we get information from 3 GPS satellite we know our position in 2 dimension, not 3 dimension, because height variable disregarded. We calculate data of X, Y, and T. Height data disregarded because GPS device majoring 2 dimension position.
Useful of GPS to life
• Military
• Navigation
• Geography information system
• Watcher earthquake
Reference :
Epsilon Edisi21/th.XIX/Oktober 2007/ hal.12 - 13
Long time ago, actually our great – grandparents have a unique ways in order to they not being lost. They build the easy looking monument, draw detail maps which need many energy, learned to read star in the sky. Then now with the development of technology, use of maps and compass replaced by other navigator tool named Global Positioning System ( GPS ). This system improve since 1970 by USA military department. In its grow, GPS used for other necessary. Actually that modern tool based from mathematics science named triliteration.
Global Positioning System is navigation system which exploiting satellite. GPS receiver get signal from some satellite around world. With the special formation, GPS can give position and time with very high height. GPS satellite around the earth twice a day. This satellite will transmission signal to the world, then other GPS will be differentiating time that transmit to calculate position.
GPS Principal, GPS must has at least 3 satellite to calculate 2 dimension position. With 4 satellites, GPS can calculate 3 dimension position. GPS position based by mathematics measurement named trilliteration which is need 3 basic point.
Determination point of GPS :
• Assuming you don’t know about your position, and you only know, you have 7 km from reference point “A”. Make circle with 7 cm of radian.
• Others, you know , you have 14 km from reference point “B”. draw, and you can see, that circle proportion on 2 points.
• Impossible you on 2 points at the same time, so you must draw one circle again, assumed you know, you have 3 km from reference point “C”. So you have 3 circle which are produced 1 point, this point your position.
Delivery data process by satellite
When GPS satellite sending signal to GPS receiver, that signal containing about position information satellite and time of that delivery signal. Because of there is a distance between satellite position and GPS receiver so there is difference time at the first time of signal transmitted with the time of accepted signal by the GPS component.
Speed of signal transmitted assumed like a velocity of light in a vacuum. With a difference time equal to T, so distance obtained as :
Distance ( S ) = time ( T ) x velocity of light ( V )
( S ) is the radian which used before.
Reason for using 4 satellites
GPS satellite sending position data ( X, Y, Z ) to receiver. Assumed there are 3 satellites that can accepted by our GPS, so there are 3 variables in 3 equations which accepted by GPS . That three equations will be produced a calculation that shows where is our location.
x1 + x2 + x3 = y1 + y2 + y3 =z1 + z2 + z3
Because every point ( X, Y, Z ) in satellite difference each other so in order to can produced the same calculation, we must add 3 variable that used by all of information, named ( a, b, c ) so the formula become :
ax1+ by1 + cz1 = ax2 +by2 +cy3 =ax3 + ay3 +cz3
Variable ( a, b, c) are information about our height. If the process delivery information to the receiver GPS in prefect condition, so with three information we can know about our position and how high our position.
There is one again variable that unknown by us that is “ Time ( T )”. That means we have 4 variable which unknown there are X, Y, Z, T. For calculate that variable, needed 4 different mathematics equation, because of that we need position information from satellite. So with 4 variable from 4 different equation, mathematically we can know about our position.
When we get information from 3 GPS satellite we know our position in 2 dimension, not 3 dimension, because height variable disregarded. We calculate data of X, Y, and T. Height data disregarded because GPS device majoring 2 dimension position.
Useful of GPS to life
• Military
• Navigation
• Geography information system
• Watcher earthquake
Reference :
Epsilon Edisi21/th.XIX/Oktober 2007/ hal.12 - 13
Sabtu, 22 November 2008
how to express mathematics
HOW EXPRESS MATHEMATICS
Symposium: an occasion of which people who have great knowledge of a particular subject meet in order to discuss a matter of interest
Sentence : Mathematics symposium can help students to know much more about mathematics.
Perspective : a particular way to considering something.
Sentence : Every people have different perspective about mathematics
Saling bebas ( independent) :not influenced or controlled in any way by other events.
Sentence : two events is independent if P(BA)=P(B) or P(AB)=P(A).
Peubah Acak (Random variable: A function with real number value that given by every unsure in sample space.
Sentence : At discreet random variable, every value connect by certain opportunity
Symposium: an occasion of which people who have great knowledge of a particular subject meet in order to discuss a matter of interest
Sentence : Mathematics symposium can help students to know much more about mathematics.
Perspective : a particular way to considering something.
Sentence : Every people have different perspective about mathematics
Saling bebas ( independent) :not influenced or controlled in any way by other events.
Sentence : two events is independent if P(BA)=P(B) or P(AB)=P(A).
Peubah Acak (Random variable: A function with real number value that given by every unsure in sample space.
Sentence : At discreet random variable, every value connect by certain opportunity
Langganan:
Komentar (Atom)
